【等价无穷小公式】在高等数学中，尤其是极限与微分部分，等价无穷小是一个非常重要的概念。它可以帮助我们更简便地计算一些复杂的极限问题，尤其是在处理未定型（如0/0、∞/∞）时，能够显著提高解题效率。
等价无穷小指的是当自变量趋近于某个值（通常是0）时，两个无穷小量的比值趋于1。也就是说，如果函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是 $ x \to 0 $ 时的无穷小，且满足：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1
$$
那么称 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 是等价无穷小，记作 $ f(x) \sim g(x) $。
下面是对常见等价无穷小公式的总结，便于理解和记忆。
常见等价无穷小公式表（当 $ x \to 0 $ 时）
| 函数表达式 | 等价无穷小 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1 + x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $（$ a > 0 $, $ a \neq 1 $） | $ x \ln a $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{x^2}{2} $ |
| $ \sqrt{1 + x} - 1 $ | $ \frac{x}{2} $ |
| $ \sqrt[n]{1 + x} - 1 $（$ n $ 为正整数） | $ \frac{x}{n} $ |
| $ \log_a(1 + x) $ | $ \frac{x}{\ln a} $ |
| $ \sinh x $ | $ x $ |
| $ \tanh x $ | $ x $ |
使用注意事项：
1. 适用范围：这些等价关系仅在 $ x \to 0 $ 时成立，若 $ x \to \infty $ 或其他值，则需重新分析。
2. 替换原则：在求极限时，可以将原式中的某些部分用其等价无穷小代替，但要注意替换后是否仍保持极限存在。
3. 高阶无穷小：如果某项是更高阶的无穷小，比如 $ x^2 $，则不能用 $ x $ 替换，否则会导致误差。
示例说明：
例如，求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
由于 $ \sin x \sim x $，所以该极限可简化为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
再如：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
$$
利用 $ e^x - 1 \sim x $，可得极限为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
总结：
掌握常见的等价无穷小公式，有助于快速解决许多极限问题。在实际应用中，应结合具体题目灵活运用，并注意其适用条件。通过不断练习和总结，可以进一步提升对极限运算的理解和熟练程度。
